MATEMATIKA INFORMATIKA
FUNGSI NUMERIK
Fungsi Diskret Numerik (disingkat fungsi numerik) adalah fungsi yang domainnya bilangan bulat nonnegatif, dan kodomainnya bilangan real.
Sebuah fungsi adalah sebuah relasi
biner yang secara unik menugaskan kepada
setiap anggota domain, satu dan hanya
satu elemen kodomain. Fungsi diskrit numerik,
atau singkatnya disebut fungsi
numerik, adalah sebuah fungsi dengan himpunan
bilangan cacah sebagai domain dan
himpunan bilangan riil sebagai kodomainnya.
Fungsi numerik ini menjadi pokok
bahasan yang menarik karena sering digunakan
dalam komputasi digital.
MANIPULASI FUNGSI NUMERIK
Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah
fungsi numerik yang harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga
dari kedua fungsi numerik pada n.
Contoh
4.1.
Jika
diketahui an = 2n
, n ³
0, bn = 5 , n ³ 0 dan
cn = an + bn ,
maka
cn = 2n + 5 , n ³ 0. ð
Hasil kali
(produk) dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya
pada n
tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik
pada n.
Contoh
4.2.
Jika
diketahui an = 2n
, n ³
0, bn = 5 , n ³ 0 dan
dn = an . bn ,
maka dn = 5(2n) , n ³ 0.
Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi
numerik an adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan
dengan Da , dimana harga Da pada n sama dengan harga an+1 - an .
Da
= an+1 - an , n ³ 0.
Beda ke belakang (backward difference) dari sebuah fungsi
numerik an adalah sebuah fungsi numerik dinyatakan
dengan Ña
, dimana harga Ña
pada n = 0 sama dengan harga a0 dan
harga Ña pada n ³ 1 sama dengan an - an-1 .
Ña = .
Contoh 4.3.
Misalkan bn = 9n , n ³
0 dan
en = Db, maka en = 9n , n ³ 0
Contoh 4.4.
Misalkan bn = 9n , n ³
0 dan
fn = Ñb, maka
fn = 
SOAL!
- 1. Jika diketahui Yn = 3n dan Zn = 4 untuk n ≥ 0 dan Xn = Yn + Zn, maka ....
a. Xn
= 4n + 3
b. Xn
= 3n = 4
c. Xn = 3n + 4
d. Xn
= 3 + 4n
JAWAB :
Jumlah
dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n
tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi numerik pada n. Jika
Yn = 3n dan Zn = 4 dan Xn = Yn + Zn maka Xn = 3n + 4 ...... C. Xn = 3n + 4
- 2. Jika diketahui Yn = 5n dan Zn = 3 untuk n ≥ 0 dan Xn = Yn . Zn, maka ....
a. Xn = 5n3n
b. Xn = 3(5n)
c. Xn = (5n)3
d. Xn = 5n/3
JAWAB :
Hasil
kali dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang harganya pada n
tertentu sama dengan hasil kali harga-harga dari kedua fungsi numerik pada
n.Jika Yn = 5n dan Zn = 3 dan Xn = Yn . Zn maka Xn = 3(5n)
.....B. Xn = 3(5n)
JAWAB :
Misalkan An adalah sebuah
fungsi numerik dan i adalah sebuah integer positif. Kita gunakan SiA
untuk menyatakan fungsi numerik yang nilainya 0 pada n = 0,1,…, (i-1) dan
nilainya sama dengan A n-i pada n ≥ i. Dengan rumus :
4. Jika Xn = 4n
dan Yn = S-3 untuk n ≥ 0, maka...
a. Yn = 4n+3
b. Yn
= 43
c. Yn
= 4n-3
d. Yn = 43n
JAWAb :
Misalkan An adalah sebuah fungsi
numerik dan i adalah sebuah integer positif. Kita gunakan S-iA untuk
menyatakan fungsi numerik yang nilainya sama dengan A n+i pada n ≥ 0.Dengan
rumus :
S-iA
= A n+i
Jika Xn = 4n dan
Yn = S-3 maka Yn = 4n+3
...... A.
Yn = 4n+3
5. Jika An = 5n dan Bn = ΔA
untuk n ≥ 0,maka....
a. Bn = 5n – n
b. Bn = 5n-1
c. Bn = 5n+1 – 5n
d. Bn = 5n+1 + 5n
JAWAB :
ΔA adalah beda maju dari An.
Beda maju (forward difference) dari sebuah fungsi numerik An adalah
sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan ΔA , dimana harga ΔA pada n sama
dengan harga An+1 - An sehingga jika An = 5n
dan Bn = ΔA maka Bn = 5n+1 – 5n .....
C. 5n+1
– 5n
6. . Jika Xn = 3n dan Yn = ∇X untuk n
≥ 0,maka....
JAWAB :
Beda ke belakang
(backward difference) dari sebuah fungsi numerik Xn adalah sebuah fungsi
numerik dinyatakan dengan ∇X , dimana harga ∇X pada n
= 0 sama dengan harga X0 dan harga ∇X pada n ≥ 1 sama dengan Xn -
Xn-1 dengan rumus :
Jawab :
Jumlah dari dua fungsi numerik adalah sebuah fungsi numerik yang
harganya pada n tertentu sama dengan jumlah harga-harga dari kedua fungsi
numerik pada n.
a. tn =
Jawaban :
- Jika bn = 2n , n ≥ 0 dan fn
= ∇b,
tentukan fn =……..
JAWAB
:
Beda ke belakang (backward
difference) dari sebuah fungsi numerik Xn adalah sebuah fungsi numerik
dinyatakan dengan ∇X , dimana harga ∇X pada n = 0 sama dengan harga X0
dan harga ∇X pada n ≥ 1 sama dengan Xn - Xn-1 dengan rumus :
- Jika bn = 2n , n ≥ 0 dan en = Δb, tentukan maka en= …!!
a. en = 2n, n ≥ 0
b. en=2n+1-2n
, n ≥ 0
c. en=2n-1+2n
, n ≥ 0
d. en=n2, n
≥ 0
JAWAB :
ΔA adalah beda maju dari bn. Beda maju (forward
difference) dari sebuah fungsi numerik bn
adalah sebuah fungsi numerik yang dinyatakan dengan ΔA , dimana harga ΔA pada n
sama dengan harga An+1 - An sehingga jika bn = 2n dan en = ΔA
maka a. en = 2n, n ≥ 0
